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解析入門('14)

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主任講師
河添 健 (慶應義塾大学教授)
放送メディア
ラジオ
放送時間(平成28年度)
第1学期:(日曜)18時15分~19時00分
第2学期:(火曜)11時15分~12時00分

講義概要

1変数の実関数の微積分を学んだ次のステップとして、多変数の実関数の微積分および複素関数について学習します。多変数の実関数としては主として2変数関数を扱い、その可視化、微分、多項式近似、極値問題、積分、面積・体積の求め方などを考えます。次にその発展として複素関数の微積分を扱います。 実変数を複素変数に変えるだけですが、複素関数は実関数にない不思議な性質もっています。それらの性質を調べるとともに、応用として留数の原理にもとづく定積分の計算を紹介します。
全体に1変数の実関数の微積分を復習しつつ講義を進め、実際の応用例、計算方法、歴史的な背景などを交えて分かり易く解説します。
※詳しくはシラバス

開設年度
平成26年度
科目区分
コース科目(自然と環境コース(導入科目))
〔2009年度~2015年度〕共通科目(一般科目)
〔2008年度以前〕共通科目(一般科目)
科目コード
1234200
単位数
2単位
単位認定試験
試験日・時限
平成28年度 第1学期:平成28年7月27日(水曜)1時限(9時15分~10時05分)
平成28年度 第2学期:平成29年1月26日(木曜)3時限(11時35分~12時25分)
単位認定試験
平均点
(平成27年度 第1学期)62.4点
(平成27年度 第2学期)68.5点
備考
「解析入門('08)」の単位修得者は履修不可
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授業の目標

2変数関数に関する理解と計算力を養います。また発展として複素関数の不思議な性質を紹介します。全体に証明の理解よりは、概念の把握、計算力、応用への理解を目標とします。

履修上の留意点

1変数の実関数の微積分にも多くの面白さや応用がありましたが、それを多変数の実関数や複素関数に拡張することにより、さらなる面白さや応用が広がります。したがって「入門微分積分(’16)」で学んだ1変数の実関数についての微積分の基礎があることが必要です。しかし完璧に覚えている必要はありません。講義ではそれらを復習しつつ進めます。

シラバス

テーマ 内容 執筆担当講師名
(所属・職名)
放送担当講師名
(所属・職名)
1 多変数関数の連続性 15回の講義を通して何を目的に勉強するかを紹介する。1変数の実関数の微積分を多変数の実関数や複素関数に拡張することの意義を紹介する。とくにこの章では多変数関数の可視化、切り口と等高線、連続と不連続について理解する。

【キーワード】
多変数関数、定義域、値域、切り口、等高線、連続、不連続
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
2 多変数関数の微分可能性 なめらかさを表す概念が微分である。1変数の微分の概念-接線とその傾き-を多変数関数に拡張する。このとき2つの考え方があり、それらが偏微分と全微分になる。また幾何学的な意味として、勾配ベクトル、接平面、法線ベクトルになどにも注目する。

【キーワード】
偏微分、方向微分、全微分、接平面、勾配ベクトル、法線ベクトル
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
3 偏微分の計算 1変数関数の微分計算を復習するとともに、多変数関数の偏微分の計算方法を習得する。とくに多変数関数の合成関数の微分公式や高階の偏微分の公式を紹介する。また陰関数と呼ばれる新しい関数の表記を学び、その微分と偏微分との関係を理解する。

【キーワード】
合成関数とその微分、高階の偏微分、陰関数とその微分
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
4 テイラー展開 3章の高階の偏微分を用いて、多変数関数のテイラー展開を導く。誤差項が小さくなる場合はテイラー級数となる。テイラー展開から多変数関数の近似-線形近似や多項式近似-が得られることを理解する。

【キーワード】
テイラー展開、テイラー級数、線形近似
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
5 極値問題 4章のテイラー展開の応用として極値問題を扱う。すなわち多変数関数の1次近似(線形近似)や2次近似を用いて、多変数関数の極大点・極小点・停留点を探すことを考える。さらに応用のうえで重要な制約条件があるもとでの極値問題も考える。

【キーワード】
極大・極小、停留点、鞍点、ヘシアン、条件付き極値問題
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
6 2変数関数の積分 1変数関数の定積分や微積分学の基本定理を復習する。リーマン和の概念を拡張し、長方形領域で定義された多変数関数の重積分を定義する。さらに一般の領域での重積分を考える。とくに定数関数1を積分することにより面積定義を与える。また重積分を計算する累次積分の方法を紹介する。

【キーワード】
微積分学の基本定理、リーマン和、重積分、面積確定、縦線・横線集合、累次積分
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
7 座標変換と面積・体積 1変数関数の置換積分-変数変換-の拡張として、多変数変換の置換積分を考える。とくに直交座標で書かれた関数の重積分を極座標や円柱座標に変換して積分する場合を取り上げる。また具体的な例を中心に、重積分を用いて面積や体積の計算を行う。

【キーワード】
変数変換、ヤコビアン、極座標、円柱座標、面積・体積
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
8 複素数 この章から複素数とそれを変数とする複素関数について考える。最初に複素数の四則演算や複素数と複素数平面との対応、複素数の極形式について学ぶ。

【キーワード】
複素数、複素数平面、極形式、ド・モアブルの定理
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
9 複素関数 複素数を変数とする複素関数について、その定義域や値域を理解する。多変数関数のときと同様に、連続な複素関数や微分可能な複素関数-正則関数-を定義することができる。さらにすべての正則関数が満たすコーシー・リーマンの微分方程式を紹介する。

【キーワード】
複素数列、収束、極限、連続、微分可能、正則、コーシー・リーマンの方程式
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
10 整級数 級数の基本的な性質を復習する。つぎに級数で定義される正則関数をいくつか紹介し、その一般化である整級数を定義する。整級数の収束半径の求め方や微分可能性などの基本的な性質を調べる。また実変数の対数関数や指数関数を複素変数に拡張する。

【キーワード】
整級数、収束半径、コーシー・アダマール公式、オイラーの公式、対数関数、指数関数
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
11 複素積分 複素関数の積分を考える。リーマン和の考え方を拡張して、複素関数を複素数平面上の曲線にそって積分する。この線積分を用いて原始関数の概念を導入する。また次章で使う2変数関数のグリーンの公式を紹介する。

【キーワード】
線積分、原始関数、グリーンの公式
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
12 コーシーの積分定理 正則関数の線積分に関するコーシーの積分定理を紹介し、前章で紹介したグリーンの定理を用いてその証明を行う。この定理より積分路の変形原理を紹介する。さらにコーシーの積分公式を導く。

【キーワード】
コーシーの積分定理、コーシーの積分公式
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
13 テイラー級数と正則関数 コーシーの積分公式に注目し、正則関数が常にテイラー級数展開できることが分かる。その結果として実関数では成り立たない一致の定理や最大値の原理を紹介する。

【キーワード】
テイラー級数、一致の定理、最大値の原理
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
14 ローラント級数と特異点 この章では正則でない複素関数を扱う。具体的な例を用いて正則でない関数に対するローラント級数展開を導入する。これにより極などの特異点の分類を行う。さらに留数を定義し、その計算の仕方や留数の原理を紹介する。

【キーワード】
ローラント級数、特異点、極、留数、留数の原理
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
15 留数の原理とその応用 14章で得られた留数の原理を用いて1変数の実関数の定積分を計算する。実関数の定積分を求めるには、いろいろな積分公式や技術を要したが、ここではその計算が留数の原理を用いることにより簡単に得られることをいくつかの例を用いて紹介する。

【キーワード】
定積分の計算
河添 健
(慶應義塾大学教授)
河添 健
(慶應義塾大学教授)
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