授業科目一覧
基盤科目
コース科目
卒業研究(全科履修生のみ)
夏季集中科目
メニューここまで

数値の処理と数値解析('14)

※印刷用にはシラバスPDF版新規ウィンドウ をご利用ください
主任講師
櫻井 鉄也 (筑波大学教授)
放送メディア
ラジオ
放送時間(平成29年度)
第1学期:(水曜)23時00分~23時45分
第2学期:(月曜)13時45分~14時30分

講義概要

数学や物理で現れる方程式は、式が複雑になると答えを与える公式がない、あるいは簡単には答えが得られない場合も多い。このようなとき、コンピュータを用いて数値計算で解を求めるのが数値解析である。数値解析は、自然現象のシミュレーションやデータの分析、製品の設計や開発、信号処理や画像解析など、幅広い分野で利用されている。本講では、コンピュータを用いて数値計算を行うときに必要となる数値の表現や処理について理解する。また、各種の問題に応じた計算方法について基本的な手法を修得する。計算方法を記述するためのアルゴリズムやそれをコンピュータに指示するためのプログラムについても概説する。
※詳しくはシラバス

開設年度
平成26年度
科目区分
コース科目(情報コース(専門科目))
〔2009年度~2015年度〕専門科目(情報コース)
〔2008年度以前〕専門科目(情報コース)
科目コード
1570137
単位数
2単位
単位認定試験
試験日・時限
平成29年度 第1学期:平成29年7月25日(火曜)4時限(13時15分~14時05分)
平成29年度 第2学期:平成30年1月25日(木曜)1時限(9時15分~10時05分)
単位認定試験
平均点
(平成28年度 第1学期)73.6点
(平成28年度 第2学期)76.3点
備考
 
このページのトップへ本文ここまで

授業の目標

本講では、コンピュータを用いた数値解析によって数学や物理で現れる問題を解くために、そこで表れる数値計算の仕組みやアルゴリズムの基本的な性質を理解することを目標とする。あわせて、数値計算のためのアルゴリズムをどのように記述するかや、プログラミングの基礎的な考え方についても修得する。

履修上の留意点

計算法の説明では線形代数や微積分が現れるため、これらの基礎知識があることが望ましい。講義中で扱う例は線形代数や微積分の応用例にもなっており、これらの理解にも役立つ。数値計算は実際にコンピュータ上で実行して結果を確認することがより深い理解につながるため、実際に数値計算を経験してみることを勧める。

シラバス

テーマ 内容 執筆担当講師名
(所属・職名)
放送担当講師名
(所属・職名)
1 コンピュータと数値計算 数値解析と数値の処理に関する概観と、数値計算の手順を示すアルゴリズムや計算量などの基本的な概念を説明する。また、コンピュータを使って計算をするときによく現れる漸化式や直接法、反復法といったことがらについても説明する。

【キーワード】
アルゴリズム、漸化式、計算量、反復計算
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
2 計算アルゴリズムの表現 数値計算のアルゴリズムをどのように記述するかについて説明する。コンピュータで計算を実行するために用いるプログラム言語や、アルゴリズムを表すための擬似コードについて述べる。計算結果のグラフ表示についても説明する。

【キーワード】
数値計算のプログラム、変数と代入、条件分岐と繰り返し、計算結果の表示
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
3 コンピュータにおける数値の表現と処理 コンピュータの中で数値がどのように表現され、処理されるかについて説明する。数学で現れる実数はいくらでも多くの桁を考えることができるが、コンピュータでは有限のデータ量で表す必要がある。そのために起こる計算上の問題点や、数値計算をする上で知っておくとよい知識などについて解説する。

【キーワード】
2進数と10進数、整数と浮動小数点数、オーバーフローとアンダーフロー、計算誤差
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
4 行列とベクトルの計算 行列やベクトルは数値計算においてよく現れるため、これらについて習熟しておくことが必要である。ここでは、行列やベクトルについて、基本的な概念や性質について説明する。また、行列やベクトルを用いた数値計算の方法についても述べる。

【キーワード】
行列とベクトル、行列の演算、ノルム、基本線形代数プログラム
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
5 連立一次方程式の解法 与えられた条件をみたすようないくつかの値を決める問題で、とくに線形の関係がある場合には連立一次方程式が現れる。このような方程式をコンピュータで解くときに用いる方法について説明する。まず、人が手で計算できるような少ない変数の例題から始め、より一般的に多くの変数の場合の扱いについて示す。

【キーワード】
連立一次方程式の解法、LU分解、前進後退代入
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
6 多項式と有理式 コンピュータでは、四則演算の組み合わせで、より複雑な計算を行っている。このとき、多項式や有理式がよく用いられる。ここでは、多項式や有理式の表現や計算方法について述べる。また、近似や積分などの計算で重要な役割を果たす直交多項式についても説明する。

【キーワード】
多項式、多項式の演算、直交多項式、有理式
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
7 関数の近似 与えられた関数やデータに対して、それを表す近似式の計算方法を紹介する。高階導関数を用いたテイラー展開による近似や、与えられた点を通る多項式を求める多項式補間などについて説明する。また、有理式による近似についても示す。

【キーワード】
多項式補間、標本点と標本値、有理関数近似
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
8 非線形方程式の解法 非線形の関数では、変数の値が2倍になったときに、その関数の値は2倍になるとは限らない。非線形方程式の解は、一般には直接求める解の公式が存在しない。そのため、適当な近似解から始めて反復改良を行うことで解に近づけていく。このような反復法の基礎について説明する。

【キーワード】
代数方程式、反復法、不動点、ニュートン法
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
9 行列の固有値問題 固有値問題は、与えられた行列に対してある性質をもった特別なベクトルと値の組を求める問題である。人気のあるWebページの推定やナノレベルのシミュレーションなどは固有値問題に帰着する。固有値問題の考え方や基本的な解法について紹介する。

【キーワード】
固有値、固有ベクトル、相似変換、ベキ乗法
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
10 最小二乗法と特異値分解 測定データなどが与えられたときに、そのデータの分布を近似的に表す直線や2次式などを求める問題は最小二乗問題となる。この問題は一般の次数の多項式によってデータの分布を表す問題へと拡張できる。ここでは、多項式補間や連立一次方程式と関連づけて計算方法を説明する。

【キーワード】
最小二乗法、QR分解、特異値分解、データ解析
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
11 数値積分法 定積分をコンピュータで数値計算する方法について説明する。多くの数値積分の計算法は、あらかじめ決められた点で求めた関数の値に対して適当な数をかけて足し合わせる形で表される。このとき、関数を計算する点や関数にかける値を変えることでさまざまな公式が得られる。

【キーワード】
定積分、台形則、補間型積分則、ガウス積分則
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
12 常微分方程式の解法 時間に依存する物体の運動など、さまざまな現象が常微分方程式で表され、これを解くことで結果の予測や制御などが可能となる。ここでは最初の状態を与えて微分方程式の解がどのように変化するかを求める初期値問題の解法について説明する。

【キーワード】
常微分方程式、オイラー法、ルンゲクッタ法、硬い方程式
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
13 偏微分方程式と差分法 熱や波の伝播、液体や気体の流れ、構造物の変形、分子や原子の状態などの現象は偏微分方程式で表され、それを解くことでさまざまな現象の解明につながる。ここでは板に熱が伝わる現象を例にして、偏微分方程式の基本的な解法について説明する。

【キーワード】
偏微分方程式、ラプラス方程式、差分法、定常反復
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
14 疎行列の計算法 シミュレーションなどを行うとき、行列の要素の多くが0となるような疎行列が現れることが多い。このような疎行列の効率的なデータ表現方法や計算法について説明する。また、疎行列を係数行列とする連立一次方程式の解法について紹介する。

【キーワード】
疎行列、行列ベクトル積、共役勾配法、前処理
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
15 スーパーコンピュータによる数値計算 理論や実験による科学の手法に対して、コンピュータによる計算によって現象の解明や予測を行う分野を計算科学という。このとき現れる計算は大規模になることが多く、スーパーコンピュータが用いられる。ここでは、スーパーコンピュータを用いた高速な計算がどのようにして行われるのか基礎的な内容について説明する。

【キーワード】
逐次計算と並列計算、速度向上率、アムダールの法則、分散処理
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
櫻井 鉄也
(筑波大学教授)
このページのトップへ本文ここまで
授業科目案内 教養学部 放送大学