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入門線型代数 ('14)

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主任講師
隈部 正博 (放送大学教授)
放送メディア
テレビ
放送時間(平成29年度)
第1学期:(水曜)10時30分~11時15分
第2学期:(金曜)15時15分~16時00分

講義概要

線型代数を初めて学ぶ人向けの講義である。予備知識は特に仮定しない。平面や空間といった素朴な概念から初め、数ベクトル空間を定義する。その後行列の概念を導入する。このとき、連立方程式の解法といった親しみやすい事柄の復習を通して、行列の演算を解説する。そして行列式、逆行列の求め方を学ぶ。また空間から空間への線型写像、部分空間の種々の性質をみる。これらを通して、行列の階数、あるいは空間の基底、次元がどういうものか解説する。さらに固有値、固有ベクトルを定義し、基底の変換を解説する。いわゆる数ベクトル空間について講義し、抽象的、公理的な議論はなるべく避けるようにする。
※詳しくはシラバス

開設年度
平成26年度
科目区分
コース科目(自然と環境コース(導入科目))
〔2009年度~2015年度〕共通科目(一般科目)
〔2008年度以前〕共通科目(一般科目)
科目コード
1234218
単位数
2単位
単位認定試験
試験日・時限
平成29年度 第1学期:平成29年7月30日(日曜)7時限(16時45分~17時35分)
平成29年度 第2学期:平成30年1月23日(火曜)1時限(9時15分~10時05分)
単位認定試験
平均点
(平成28年度 第1学期)81.3点
(平成28年度 第2学期)81.0点
備考
※この科目は「入門線型代数('09)」を一部改訂しています。
「線型代数入門('03)」「入門線型代数('09)」の単位修得者は履修不可
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授業の目標

平面や空間といった素朴な概念を、数ベクトル空間としてとらえることから始める。また連立方程式の解法を、行列を使って解く方法を学ぶ。また、行列式、逆行列の求め方を理解する。また、線型写像、線型空間とはどういうものか解説する。さらに、ベクトルの線型独立、そして空間を構成する基底を学び、さらに空間の大きさを測る次元とはどういうものか学ぶ。次に基底の変換を解説し、これにより、座標の表示がどのように変わるかを理解する。合わせて固有値、固有ベクトルを解説し、基底の変換に応用する。

履修上の留意点

この授業は初めて線型代数を学ぶ人向けの授業である。従って予備知識は特に要求しない。できれば数学にいくらかの親しみをもっていればありがたい。より入門的な数学の講義、例えば初歩からの数学、をとっていればなおさらいい。

シラバス

テーマ 内容 執筆担当講師名
(所属・職名)
放送担当講師名
(所属・職名)
1 数ベクトル空間
【改訂回】
我々が日常目にする平面や空間と行った概念を、数ベクトル空間としてとらえる。

【キーワード】
平面、空間、数ベクトル、数ベクトル空間
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
2 行列
【改訂回】
行列がどういうものか定義し、行列の和や積演算について解説する。

【キーワード】
行列、行列の型、行列の和、積
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
3 連立一次方程式の解法
【改訂回】
連立一次方程式の消去法による解法を復習し、その後、これを行列を使って掃き出し法によって解くことを学ぶ。

【キーワード】
連立一次方程式、掃き出し法、行基本変形
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
4 階数
【改訂回】
連立一次方程式の行列による解法を整理し、行基本変形、列基本変形、そして階段行列を定義する。さらに行列の階数を定義する。さらに逆行列の求め方を学ぶ。

【キーワード】
行列の基本変形、行列の階数、正則行列、逆行列
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
5 置換
【改訂回】
行列式を定義するにあたって、必要な準備として、置換について解説する。

【キーワード】
置換、互換、巡回置換、偶置換、奇置換、置換の符号
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
6 行列式 二次や三次の正方行列の行列式の求め方からはじめ、一般の場合について定義する。

【キーワード】
行列式
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
7 行列式の性質 前章で定義した行列式のもつ種々の性質について学び、また行列式を特色づけを行う。また行列式の求め方を実際に練習する。

【キーワード】
行列式の展開
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
8 行列式の展開 行列式を列や行で展開する方法を学び、幾つかの性質を理解する。これを使って、行列の逆行列の求め方を学び、さらに連立方程式の解法についても再考する。

【キーワード】
逆行列、余因子行列、クラメルの公式
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
9 独立と従属 幾つかのベクトルをを使って他のベクトルを書き表す、線型結合について学ぶ。また線型独立や線型従属の意味することを理解する。

【キーワード】
線型結合、線型独立、線型従属
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
10 部分空間 数ベクトル空間の部分集合で、部分空間とよばれるものの定義をする。

【キーワード】
部分空間、生成する空間、基底、部分空間の和、共通部分
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
11 線型写像 数ベクトル空間から数ベクトル空間への線型写像を定義し、行列がどのように関わっているか学ぶ。また線型写像の像や核について学ぶ。

【キーワード】
線型写像、行列表現、像、核
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
12 次元 行列の階数と基本変形との関連について、より一般的に解説する。次に空間の大きさを測る次元を定義する。さらに次元と階数との関係について述べる。

【キーワード】
階数、基底、次元、次元公式
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
13 基底の変換 線型空間の基底が与えられた時、基底を変えることによって、与えられたベクトルの成分表示がどのように変わるかを見る。また線型写像を表す行列がどのように変わるかもみる。

【キーワード】
基底の変換、座標変換、線型写像の行列表示
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
14 固有値と固有ベクトル 固有値や固有ベクトルを定義し、その意味について解説する。

【キーワード】
固有値、固有ベクトル、固有方程式、不変部分空間、ケーリーハミルトンの定理
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
15 行列の対角化 固有値と固有ベクトルの求め方について幾つか練習する。またこれを使って、基底の変換を行い、線型変換の行列表示がどのように変わるかをみる。最後に授業のまとめをする。

【キーワード】
基底の変換、行列の対角化
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
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