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微分方程式('17)

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主任講師
石崎 克也 (放送大学教授)
放送メディア
テレビ
放送時間(平成29年度)
第1学期:(日曜)23時15分~24時00分
第2学期:(木曜)9時45分~10時30分

講義概要

微分方程式は、解析学の中心的役割をはたし、理工科系研究の基礎学術領域には欠かせない存在である。実際に、微分方程式は、微分積分学の更なる理解を深めるためにも重要であるだけではなく、自然現象や社会現象を数理的に表現し研究するための手段として、あるいは工学研究に必要な道具としても存在している。この講義では入門微分積分に続く科目として、微分方程式の初歩から分かり易く解説する。講義では、微分方程式の解の意味の理解を促し、問題解決型と知識伝達型を併用する形で進めていく。基本的な線形微分方程式を主な題材に、線形代数学、積分変換論など、様々な数学的な角度から考察していく。
※詳しくはシラバス

開設年度
平成29年度
科目区分
コース科目(自然と環境コース(専門科目))
〔2009年度~2015年度〕専門科目(自然と環境コース)
〔2008年度以前〕専門科目(自然の理解専攻)
科目コード
1562819
単位数
2単位
単位認定試験
試験日・時限
平成29年度 第1学期:平成29年7月29日(土曜)2時限(10時25分~11時15分)
平成29年度 第2学期:平成30年1月28日(日曜)4時限(13時15分~14時05分)
単位認定試験
平均点
備考
「微分方程式への誘い('11)」の単位修得者は履修不可
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授業の目標

微分方程式の解は、常に存在するわけではなく、存在が示されていても初等関数で記述できるとは限らない。どのような場合に解が存在するのかを考え、解の性質が記述できる場合はどのようなときかを理解することは重要である。講義では、微分積分学で学んだ基礎知識で一般解が求まる微分方程式の解法から始める。2階までの微分方程式を通して、微分方程式の基礎を理解することが目標となる。また、積分変換論などの解析的な道具を用いて、微分方程式を取り扱えるようになることも目標のひとつである。

履修上の留意点

微分積分学を勉強した上でこの講義を履修することが望ましい。具体的には、「入門微分積分('16)」(または、「微分と積分('10)」)が履修済みであることを期待する。また、講義の進行にともなって、学生自身が練習問題に取り組むことを推奨する。まず印刷教材を参照しながら解答し、放送授業によって正解と照らし合わせ理解の確認をすることが望ましい。

シラバス

テーマ 内容 執筆担当講師名
(所属・職名)
放送担当講師名
(所属・職名)
1 微分方程式 微分方程式の解とは何であるか。解の意味と微分方程式を解くとは何かを理解する。微分方程式の解法に必要な微分積分学・線形代数学からの準備を行う。また、線形空間や複素数に関係する語句や記号の導入もおこなう。

【キーワード】
微分方程式、一般解、特殊解、付帯条件、積分計算、広義積分、級数、行列、行列式、固有値、線形空間、複素数
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
2 変数分離形 求積可能な1階の微分方程式として最も基本的な変数分離形常微分方程式を学習する。解法に必要な微分積分の公式を随時復習していく。適当な変換で変数分離形に帰着される微分方程式として、同次形などの方程式の解法を紹介する。

【キーワード】
求積法、変数分離形、置換積分、積分定数、同次形
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
3 1階線形微分方程式 定数変化法を用いて1階線形方程式を解く公式を導出する。1階線形方程式に帰着されるベルヌーイの方程式を学習する。また、ある条件の下に1階線形方程式に帰着されるリッカチ方程式の解法を理解する。

【キーワード】
1階線形方程式、定数変化法、ベルヌーイ方程式、リッカチ方程式
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
4 完全微分方程式 微分形式で表現された微分方程式を学習する。完全微分方程式の解法を理解する。必要に応じて、 偏微分法の復習を行う。積分因子を用いて完全微分方程式に帰着される方程式を取り扱う。

【キーワード】
偏微分法、微分形式、全微分方程式、完全微分方程式、積分因子
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
5 数理モデル 自然現象や社会現象を数理的に表現する方法としての微分方程式を学習する。具体例を通して、微分方程式で記述される数理科学モデルの構成法を紹介する。ここでは、生物個体群の成長モデル、放射性物質の崩壊モデル、物体の落下モデル、電気回路のモデルなどを考察する。また、関数のグラフの特徴を利用して記述される微分方程式も学習する。

【キーワード】
数理モデル、生物個体群の成長モデル、マルサス方程式、ロジスティック方程式、1階微分方程式の応用
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
6 高階線形微分程式 高階線形微分方程式についての概論を述べる。一般論として、微分作用素、関数の1次独立性などを学習する。線形同次方程式の解の存在と一意性、一次独立性や基本解の性質を学ぶ。また、ローンスキー行列式を用いた一次独立性の判定法や微分方程式の構成法を説明する。

【キーワード】
高階微分方程式、微分作用素、一次独立性、ローンスキャン、基本解
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
7 2階線形微分方程式 2階線形微分方程式の基本性質を理解する。ここでは、ある形の2階線形微分方程式の一般解の求め方として、定数変化法、階数降下法、独立変数の変換を学ぶ。また、2階線形微分方程式とリッカチ方程式との関係や基本解の積・商のみたす微分方程式を紹介する。

【キーワード】
2階線形微分方程式、定数変化法、階数降下法、独立変数の変換、基本解の積・商
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
8 定数係数線形微分方程式 定数係数線形微分方程式の一般解について説明する。まず、2階の場合から学習し、特性方程式の使い方を体験する。特性方程式や微分作用素を通して一般論を学習する。複素数値関数解や微分演算子の計算についても解説する。

【キーワード】
定数係数線形微分方程式、特性方程式、微分作用素、複素数値解、演算子の計算、線形非同次微分方程式
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
9 連立線形微分方程式 連立線形微分方程式と高階線形微分方程式の関係を解説する。線形代数と関数行列の復習をし、微分方程式に応用する。とくに、連立線形微分方程式における定数変化法を通して、線形代数の微分方程式への関わりを学習する。

【キーワード】
連立線形微分方程式、高階線形微分方程式、線形代数、関数行列、定数変化法、行列の指数関数
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
10 級数解法 線形微分方程式の級数解法を学ぶ。整級数を用いた関数の局所的表現方法や収束判定法を復習する。2階線形同次微分方程式を題材にして、漸化式の取り扱いやルジャンドル関数、ベッセル関数などの特殊関数も紹介する。

【キーワード】
整級数、級数解法、収束判定法、2階線形同次微分方程式、正則点、漸化式、確定特異点、特殊関数
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
11 ラプラス変換 広義積分を復習し、ラプラス変換を定義する。具体的な例を考察しながら、ラプラス変換の基本性質を説明する。更に、ラプラス逆変換を学習し、線形微分方程式の初期値問題に応用する。

【キーワード】
広義積分、ラプラス変換、基本性質、ラプラス逆変換、線形微分方程式の初期値問題
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
12 フーリエ級数 三角関数を復習し、フーリエ係数の求め方を学習する。フーリエの定理を理解し、関数をフーリエ級数で表すことを学ぶ。さらに、フーリエ級数の持つ性質を学習する。また、直交関数系を学び一般フーリエ級数の性質に触れる。

【キーワード】
三角関数、フーリエ係数、フーリエ級数、直交関数系、ルジャンドル多項式、パーセバルの等式
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
13 線形偏微分方程式 偏微分方程式の一般論について学習する。1階および2階の線形偏微分方程式の解法を紹介する。重ね合わせの原理、変数分離解、フーリエ級数を応用して波動方程式やラプラス方程式の解を構成する。

【キーワード】
線形偏微分方程式、重ね合わせ原理、変数分離解、境界値問題、フーリエ級数、波動方程式、ラプラス方程式
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
14 積分変換の応用 代表的な積分変換であるラプラス変換、フーリエ変換を学習する。フーリエ級数からフーリエ積分へと発展させ、フーリエ変換を学ぶ。単位関数やデルタ関数を知識に加えラプラス変換における学習を深める。これらを応用して、常微分方程式、積分方程式、偏微分方程式を取り扱う。

【キーワード】
積分変換、フーリエ積分、フーリエ変換、単位関数、ラプラス変換、常微分方程式、積分方程式、偏微分方程式
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
15 解の存在定理 正規形の常微分方程式の解の存在定理や解の一意性定理について学習する。準備として、一様収束やリプシッツ条件を学習し、今後の学びの発展に繋がる解析的手法を紹介する。逐次近似法、折れ線法などを利用した解の存在定理を説明する。

【キーワード】
正規形、一様収束、リプシッツ条件、グロンウォールの定理、解の存在定理、解の一意性定理、逐次近似法、折れ線法
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
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