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線型代数学('17)

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主任講師
隈部 正博 (放送大学教授)
放送メディア
ラジオ
放送時間(平成29年度)
第1学期:(火曜)13時45分~14時30分
第2学期:(木曜)22時15分~23時00分

講義概要

初めに高等学校で学んだ平面や空間におけるベクトルの扱いを復習する。また、内積、外積を定義し、ベクトル空間に内積を取り入れることで、長さや角度が表せることをみる。こうして得られる計量ベクトル空間において、正規直交基底が構成できる。また、空間において形を変えない変換すなわち合同変換を例をあげながら解説し、その行列表示として直交行列を学ぶ。次に、ベクトルや行列の成分を複素数とすることで、複素ベクトル空間を考える。空間における基底の変換は本講義で重要な手法で復習を兼ねて講義する。その後、対称行列に基底の変換を施し対角化できることをみる。一般に、行列が対角化できるための条件や特徴付けを考える。与えられた行列はいつも対角化できるわけではないが、三角化と呼ばれる形、またジョルダンの標準形と呼ばれる形に変形する方法を学ぶ。次に、2次曲面を行列を用いて表すことを学ぶ。そしてこれまでの知識を応用して、2次曲面を標準形とよばれる形に変形し分類する。
※詳しくはシラバス

開設年度
平成29年度
科目区分
コース科目(自然と環境コース(専門科目))
〔2009年度~2015年度〕専門科目(自然と環境コース)
〔2008年度以前〕専門科目(自然の理解専攻)
科目コード
1562827
単位数
2単位
単位認定試験
試験日・時限
平成29年度 第1学期:平成29年7月26日(水曜)2時限(10時25分~11時15分)
平成29年度 第2学期:平成30年1月25日(木曜)3時限(11時35分~12時25分)
単位認定試験
平均点
備考
 
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授業の目標

ベクトル空間に内積を取り入れることで、長さや角度の概念が定義でき、こうして得られる計量ベクトル空間を理解する。ベクトル空間上の線型写像を表す行列に、基底の変換を施して簡単な形に変形することの意味と重要性を理解する。様々な形の行列をどのようにして簡単な形に変形していくか、その道筋や手順を理解する。最後に、2次曲面の分類に応用することでその理解を深める。

履修上の留意点

「入門線型代数('14)」を履修あるいは理解していることが望ましい。しかし学習上の無理がないように、できるだけ復習を交えながら講義をすすめていきたい。

シラバス

テーマ 内容 執筆担当講師名
(所属・職名)
放送担当講師名
(所属・職名)
1 ベクトルと図形 平面や空間において、ベクトルを図示しその意味を理解する。そして直線や平面をベクトルをつかって表す方法を学ぶ。またベクトルの成分表示をつかい、直線や平面を表す方程式を導く。

【キーワード】
有向線分、ベクトル、位置ベクトル、成分表示、直線や平面のベクトル表示
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
2 内積 平面や空間における、長さや角度について学ぶ。次に内積を定義し、その意味や性質を理解する。また内積をつかっても、長さや角度の概念が定義できることをみる。

【キーワード】
長さ、角度、内積、座標系、計量ベクトル空間
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
3 外積 部分空間や線型独立の概念について復習する。平面や空間において、平行四辺形の面積を求める方法を考える。それらを通して、外積を定義し、その意味や性質を理解する。

【キーワード】
部分空間、線型独立、平行四辺形の面積、外積
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
4 正規直交基底と直交補空間 直和について復習し、直交補空間を定義する。次に正規直交基底を定義し、その性質を導き、またその構成方法を学ぶ。

【キーワード】
直和、直交補空間、正規直交基底
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
5 合同変換と直交行列 合同変換とはどのようなものか、対称移動や回転移動といった例をあげながら理解する。またその行列表示として、直交行列を定義し、その性質を導く。

【キーワード】
合同変換、対称移動、回転移動、直交行列
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
6 複素ベクトル空間 複素数について学ぶ。複素数を成分にもつベクトルや行列、空間を考える。また複素ベクトルの内積を定義し、その性質をみる。そして直交行列に対応する概念として、ユニタリ行列を学ぶ。また行列のブロック分割を学ぶ。

【キーワード】
複素数、複素ベクトル、複素行列、ユニタリ行列
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
7 基底の変換 基底の変換について復習し、理解をさらに進める。基底の要素の和、入れ替え、スカラー倍、といった基本操作によって、線型写像の行列表示がどのように変わるかをみる。

【キーワード】
線型写像、行列表示、基底の変換
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
8 対称行列 空間の直和分解をつかって、線型写像の行列表示を簡単に表すことを考える。これを利用して、対称行列を対角化する方法を学ぶ。

【キーワード】
直和分解、f-不変、対称行列、エルミット行列、対角化
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
9 正規行列 一般に対角化できる行列がどのようなものか特徴付けを考えることで正規行列を定義し、そして対角化する方法を学ぶ。また実正規行列を簡単に表す方法を考える。そして直交行列の標準形を導く。

【キーワード】
正規行列、直交行列の標準形
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
10 行列の三角化 行列を対角化することができるための条件を学ぶ。一般の行列はいつも対角化することはできないが、三角化はできることを示す。そしてその方法を学ぶ。

【キーワード】
対角化の条件、三角行列、行列の三角化
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
11 広義固有空間 固有空間や広義固有空間がどのようなものか学ぶ。そして空間を、広義固有空間の直和として表せることを示す。

【キーワード】
固有空間、広義固有空間、直和分解
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
12 行列の標準形 はじめに冪零行列を定義し、これをジョルダンの標準形と呼ばれる形に変形することを考える。これをつかい、一般の行列を標準形に変形する方法を学ぶ。

【キーワード】
冪零行列、ジョルダンの標準形、ジョルダン細胞
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
13 2次形式と2次曲面 2次形式とはどのようなものか定義し、行列をつかって表す。さらに今までの知識を用い、これを簡単な形にし、シルベスターの慣性律を解説する。次に2次曲線、2次曲面を定義し、これも行列を用いて表す。

【キーワード】
2次形式、係数行列、シルベスターの慣性律、符号数、2次曲線、2次曲面
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
14 2次曲面の合同変換 2次曲面に、合同変換、平行移動を施し、簡単な形にすることを簡単な形の場合について個別にみていく。

【キーワード】
2次曲面、合同変換、平行移動、回転移動
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
15 2次曲面の標準形 今までの知識を総合し、一般の2次曲面を簡単な形に変形する。このとき係数行列の階数との関連について解説する。そして2次曲線、2次曲面を分類する。

【キーワード】
係数行列、符号数、階数、2次曲面の標準形、2次曲面の分類
隈部 正博
(放送大学教授)
隈部 正博
(放送大学教授)
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