授業科目一覧
基盤科目
コース科目
卒業研究(全科履修生のみ)
夏季集中科目
メニューここまで

入門微分積分('16)

※印刷用にはシラバスPDF版新規ウィンドウ をご利用ください
主任講師
石崎 克也 (放送大学教授)
放送メディア
テレビ
放送時間(平成29年度)
第1学期:(木曜)13時00分~13時45分
第2学期:(月曜)16時45分~17時30分

講義概要

微分積分学が自然科学・工学の発展において中心的な役割を果たしていることは言うまでも無い。ある量の変化に伴って、他の量の値も変化する関数の関係はどの分野においても重要である。二つの変量の間に関数の関係があれば、それらの変化量の割合を記述するものとして、導関数を考える。一般に導関数を求めることを微分するという。その逆演算として積分がある。積分法を理解するということは、面積・体積などへの応用手段を獲得するというだけでなく、関数方程式を取り扱う領域への入場券を手にすることなる。この授業科目では、微分積分についての知識を前提とせず、大学レベルの微分積分を展開する。
※詳しくはシラバス

開設年度
平成28年度
科目区分
コース科目(自然と環境コース(導入科目))
〔2009年度~2015年度〕共通科目(一般科目)
〔2008年度以前〕共通科目(一般科目)
科目コード
1760041
単位数
2単位
単位認定試験
試験日・時限
平成29年度 第1学期:平成29年7月25日(火曜)6時限(15時35分~16時25分)
平成29年度 第2学期:平成30年1月24日(水曜)8時限(17時55分~18時45分)
単位認定試験
平均点
(平成28年度 第1学期)68.0点
(平成28年度 第2学期)66.5点
備考
「初歩からの微積分('06)」「微分と積分('10)」の単位修得者は履修不可
このページのトップへ本文ここまで

授業の目標

微分積分学の基本事項を理解することを目標とする。一般論の理論の把握に努め、具体的な計算では自ら手を動せるようになることを期待する。新しい概念を真に身につけるためにはその概念になじむことが必要であり、数学的な言い回し、数学記号も繰り返し使用することによって違和感がなくなることを実感してほしい。また、基本事項をおろそかにせず、丁寧に積み上げることの重要性を体得することを心がけていただきたい。

履修上の留意点

本科目は実一変数関数の微分積分に限っている。実多変数関数や複素変数関数へ勉強を進めたい学生へは「解析入門('14)」を履修することを推奨する。また、積分法の先にある微分方程式論については、「微分方程式('17)」を履修することをお勧めする。印刷教材を参照しながらノートを作成し、演習問題などを自ら解答することが望ましい。更に、放送授業によって理解の確認をされることを期待する。

シラバス

テーマ 内容 執筆担当講師名
(所属・職名)
放送担当講師名
(所属・職名)
1 実数・数列 微分積分学を学ぶにあたり、その基本的な概念を学習する。登場する用語や記号に慣れることを目標とする。集合・実数・数列などの基本性質を学習する。

【キーワード】
集合、有理数、実数、上界・下界、上限・下限、数列、数列の極限、収束・発散、ε-N(イプシロン-エヌ)論法
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
2 関数 関数とは何かを理解し、極限や連続性を学習する。最大値・最小値の命題や、中間値の定理を理解し応用できるようになることを目標とする。

【キーワード】
関数、関数の極限、ε-δ(イプシロン-デルタ)論法、関数の連続性、最大値・最小値、中間値の定理
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
3 単調関数・逆関数 関数の性質を理解し、単調性や周期性を学ぶ。また、逆関数が存在する条件を把握できるようにする。理解のために、逆三角関数をひとつの題材として取りあげる。また、関数の合成について説明する。

【キーワード】
単調性、周期性、定義域・値域、逆関数、逆三角関数、合成関数、双曲線関数
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
4 導関数 関数の極限を復習し、微分可能性、導関数の定義をする。図形的な意味を把握できるようになる。具体的な関数に対して、定義から導関数が求められるようになることを目指す。

【キーワード】
平均変化率、微分係数、微分可能性、接線・法線、導関数、多項式の微分
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
5 微分法の基本公式 微分法についての一般的な基本公式を学ぶ。更に、各論的な諸公式と併せて、具体的な関数の導関数を計算できるようになる。

【キーワード】
積・商の微分、合成関数の微分、三角関数の微分、逆関数の微分、指数関数・対数関数の微分、関数の媒介変数表示
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
6 曲線の概形 微分法の応用として、関数の増減を調べ、極値を求められるようになる。更に、増減表から曲線の概形を描くことを学ぶ。最大最小問題や不等式の証明に応用できるようになる。

【キーワード】
関数の増減、極大値・極小値、ロルの定理、平均値の定理、凹凸、変曲点、漸近線、最大・最小、不等式への応用
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
7 平均値の定理の応用 高階導関数を求める方法を紹介する。また、平均値の定理の意味を理解し、近似値、テーラー展開へと発展させる。

【キーワード】
高階導関数、テイラー展開、マクローリン展開、近似式、方程式の実数解の近似
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
8 不定形の極限 関数の振る舞いを学習する。不定形を理解し、微分法の応用としてロピタルの定理やテイラー展開を用いて不定形の極限を求める方法を学習する。

【キーワード】
高位の無限小、不定形の極限、ロピタルの定理、ランダウの記号、テイラ-展開の応用
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
9 不定積分 微分法の逆演算として、不定積分を導入する。導関数と原始関数の関係や積分定数の意味を理解する。また、基本的な関数の不定積分を求められるようになる。

【キーワード】
原始関数、不定積分、多項式の積分、指数関数の積分、三角関数の積分
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
10 積分法の基本公式 積分法についての一般的な基本公式を学ぶ。更に、各論的な諸公式と併せて、具体的な関数の不定積分を求められるようになる。また、有理関数の不定積分が初等的な方法で求められることを学習する。

【キーワード】
置換積分、部分積分、有理関数の積分、無理関数の積分、三角関数の積分
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
11 定積分と面積 定積分を定義し、面積との関係を学ぶ。微積分学基本定理の意味を理解する。具体的な関数について、グラフの囲む面積が求められるようになる。

【キーワード】
定積分、面積、微分積分学基本定理、積分可能性、置換積分、部分積分
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
12 広義積分 連続でない関数や積分区間が有限でない場合の広い意味での定積分を取り扱う。ガンマ関数など広義積分で定義される特殊関数も紹介する。

【キーワード】
広義積分、不連続点、無限区間、判定条件、特殊関数、ガンマ関数、ベータ関数
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
13 体積・曲線の長さ 定積分の応用として、体積や曲線の長さを求める方法を学習する。また、具体的な問題を通して理解が進むようにする。更に、関数の表現を変えて面積を求める方法を紹介する。

【キーワード】
体積、回転体の体積、曲線の長さ、極座標と面積
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
14 級数 基本的な数列の学習からはじめ、一般の数列の和を取り、更に、無限項加えるときの状況を考察する。級数の収束・発散を理解し、判定ができるようになることを目標とする。

【キーワード】
級数、収束・発散、正項級数、交項級数、収束判定法、絶対収束、条件収束
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
15 整級数・関数の表現 関数を項に持つ級数の収束・発散を学習する。更に、関数が級数で表現される範囲について学ぶ。級数や無限乗積で定義される特殊関数を紹介する。微分方程式への応用なども紹介する。

【キーワード】
整級数、収束半径、項別微分、項別積分、微分方程式への応用
石崎 克也
(放送大学教授)
石崎 克也
(放送大学教授)
このページのトップへ本文ここまで
授業科目案内 教養学部 放送大学