微分方程式への誘い(’11)

主任講師: 熊原 啓作、室 政和

微分方程式の簡単な解法を解説するが,求積法で解が求まる方程式はごく限られたものであることも強調したい。それでもどのような場合に解が求まるか。解の性質が分かるのはどのようなときかなど理解することは重要である。2階までの微分方程式を通して微分方程式の基礎を理解することが目標となる。 検討中リストに追加

各回のテーマと放送内容

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第1回 微分方程式とは何か(1)
微分方程式とは何か,解とは何かを不定積分から始めて,マルサスの人口論,ニュートンの運動方程式,追跡線,曲線群などの例をもとに解説する。簡単な微分方程式の立て方とその解き方を見るとともにこの講義の概観を与える。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第2回 微分方程式とは何か(2)
1階の微分方程式の解の意味を方向場と関連させ幾何学的に説明する。また初期値と解の関係を考え,コーシー・リプシッツの条件を満たせば,解の存在が保証されると共に,解が初期値で決まることを見る。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第3回 1階の微分方程式を解く(1)
解が存在してもその解を既知の関数を用いて表すことが出来るとは限らない。特別な形の方程式はそれが可能であることを見る。まず1階の微分方程式で変数分離形,同次形,1階線形微分方程式の解を求める。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第4回 1階の微分方程式を解く(2)
全微分方程式の解について考える。その方程式が完全微分の時は解を持つことを見,そうではないときは積分因子とをかけることによって完全微分に帰着させることを説明する。さらに解曲線群と包絡線についても言及する.
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第5回 例で学ぶ(1)
マルサスの人口方程式とフェルフルストの人口方程式,放射性同位元素の崩壊の方程式と年代測定法など1階の微分方程式で表される事象をいくつか取り上げ,その解を調べる。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第6回 定数係数の線形微分方程式(1)
定数係数の2階線形微分方程式を扱う。斉次形の時の解空間の構造,求積法,特性方程式を用いた解法できるだけ具体的に解説する。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第7回 定数係数の線形微分方程式(2)
非斉次2階線形方程式のについて定数変化法,未定係数法を解説する。次に高次線形微分方程式の記号解法を説明する。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第8回 例で学ぶ(2)
今まで学んだことをばねの振動の解析に応用する。摩擦がないとき単振動,線形摩擦と呼ばれる摩擦があるときは減衰振動になることを見る。外力として振動を考えると共鳴現象が起きることを見る。線形ではないふりこ運動についても触れる。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第9回 変数係数の線形微分方程式
変数係数の線形微分方程式で階数低下法,定数変化法について述べ,変数変換によって定数係数に帰着できる場合を考える。また高階でも2階と同様の性質をもつことを見る.
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第10回 連立線形微分方程式(1)
単独の高階の線形微分方程式は連立1階線形微分方程式の特別な場合であることを見る。連立微分方程式の初期値問題は素解(解核行列)を用いて解けることを見る.次に定数係数の場合は解核行列が係数行列の指数関数で表されることを見る。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第11回 連立線形微分方程式(2)
前章に続いて2階の定数係数連立線形方程式を係数行列の標準形を用いて解を求める。さらに係数行列の固有値と解軌道の関係を見る。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第12回 解の挙動
連立1階非線形方程式の平衡点の近くでの線形化安定性解析について解説する.次に線形であるばね質点系の相平面解析,非線形ふりこ,ロトカ・ヴァルテラ方程式の解曲線を考察する。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第13回 級数による解法
解析関数を係数にもつ微分方程式は解析関数解をもつ.整級数展開して,未定係数法により解を求める方法を説明し,具体的なルジャンドル,エルミート,チェビシェフの微分方程式の解を求める。さらにベッセルの微分方程式,ガウスの微分方程式も紹介する。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第14回 偏微分方程式へ(1)
例によって偏微分方程式とは何か,どのようとき偏微分方程式が現れるか,その解とは何か,どんな手法が使われるかを簡単に紹介する。2階の放物型である熱伝導方程式と,双曲型である波動方程式を取り上げる。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)
第15回 偏微分方程式へ(2)
前回に続き偏微分方程式についての紹介を行う。2階楕円型であるラプラスの方程式と,その解である調和関数の性質を説明する。
担当講師: 熊原 啓作 (放送大学名誉教授) 室 政和 (岐阜大学教授)

放送メディア:

テレビ

放送時間:


2016年度 [第2学期] (火曜)
14時30分〜15時15分

単位認定試験 試験日・時限:

2016年度 [第2学期]
2017年1月26日 (木曜)
8時限 (17時55分~18時45分)

開設年度:

2011年度

科目区分:

専門科目

科目コード:

1562614

単位数:

2単位
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