数値表の使い方

・二項分布

　 $x$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うとき， $x$ の確率は ${}_{n}C_{x}p^{x}\left(1-p\right)^{n-x}(x=0,1,2,\cdots,n;0<p<1)$ で与えられる．

　この表は， $n$ ， $r$ ， $p$ の値に対し， $x\geqq r$ となる確率 $P(x\displaystyle \geqq r)=\sum_{x=r}^{n}{}_{n}C_{x}p^{x}\left(1-p\right)^{n-x}$ を与えるものである．

　表側（表の左の見出し）には $n$ と $r$ の値，表頭（表の上の見出し）には $p$ の値が与えてある．

　例えば， $n=12$ ， $p=0.20$ の二項分布で， $x\geqq 8$ となる確率は， $n$ が12の部分の $r$ が8の行を右に見て行き，表頭の $p$ が0.20の列から下がってきたところの値0.0006となる．

　 $p>0.50$ のときは， $p$ の代わりに $1-p$ の値を使って表から $P(x\geqq n-r+1)$ の値を求め，

　　　　　 $P(x\geqq r)=1-P(x\geqq n-r+1)$

により計算する．

　 $0.1<p<0.9$ で $np>5$ のときは，平均 $np$ ，分散 $np\left(1-p\right)$ の正規分布で近似する．

　 $p<0.1$ のときは， $m=np$ のポアソン分布で近似する．

　例えば， $n=100$ ， $p=0.20$ のとき， $P(x\geqq 25)$ を求めるには，平均 $np=100\times 0.20=20$ ，分散 $np\left(1-p\right)=100\times 0.20\times 0.80=16$ の正規分布で近似する．

　　　　　 $z=\displaystyle \frac{x-20}{\sqrt{16}}=\frac{x-20}{4}$

とすると， $z$ は近似的に標準正規分布に従う．したがって，

$\text{　　　　　}P\left(x\geqq 24.5\right)=P\left(z\geqq\frac{24.5-20}{4}\right)$

$\text{　　　　　　　　　　} =P\left(z\geqq 1.125\right)=0.1303$

　（ $x$ の分布を連続確率分布で近似するので， $x\geqq 25$ でなく， $x\geqq 24.5$ となる確率を計算する．）

・ポアソン分布

　この表は， $x$ が平均 $m$ のポアソン分布に従うとき， $m$ ， $r$ の値に対して， $x\geqq r$ となる確率を与えるものである．

　例えば，平均 $m=2.5$ のとき， $x\geqq 5$ となる確率 $P(x\geqq 5)$ は， $m=2.5$ の列を下に見て行って， $r$ の値が5の行にある値0.1088を読む． $x=5$ となる確率 $P(x=5)$ は，

$\text{　　　　　}P(x\geqq 5)-P(x\geqq 6)=0.1088-0.0420$

$\text{　　　　　　　　　　　　　　　　}=0.0688$

となる．

・正規分布（１）　確率密度

　この表は， $z$ の値に対する標準正規分布 $N(0,1)$ の確率密度

$\displaystyle \text{　　　　　}f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}$

の値を与えるものである．表側には $z$ の値を小数第１位まで，表頭には小数第２位を与えてある．

　例えば， $z=1.96$ に対する確率密度は，表側が1.9の行を右に見て行き，表頭が0.06の列を下がってきたところの値.05844を読む．

　 $x$ が平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^{2}$ の正規分布 $N(\mu, \sigma^{2})$ に従うとき， $z=\left(x-\mu\right)/\sigma$ とおくと， $z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う． $x$ の確率密度は， $z$ の値を計算して，その $z$ の値に対する確率密度を表から読み取ればよい．

・正規分布（２）　右側の確率

　この表は， $z$ の値 $z_{\alpha}$ に対する標準正規分布 $N(0,1)$ の右側の確率 $\alpha=P(z>z_{\alpha})$ の値を与えるものである．表側には $z$ の値 $z_{\alpha}$ を小数第１位まで，表頭には小数第２位を与えてある．

　例えば， $P(z>1.96)$ の値は，表側が1.9の行を右に見て行き，表頭が0.06の列を下がってきたところの値.02500を読む．

　左側の確率 $P(z>z_{\alpha})$ は，

$\text{　　　　　}z_{\alpha}\geqq 0 \text{のときは　}1-P(z>z_{\alpha})$

$\text{　　　　　}z_{\alpha}<0 \text{のときは　}P(z>-z_{\alpha})$

となる．

　例えば， $P(z<1.96)=1-0.0250=0.9750$ ， $P(z<-1.96)=P(z>1.96)=0.0250$ ， $P(-1.96<z<1.96)=1-P(z<-1.96)-P(z>1.96)=0.9500$ ．

　 $x$ が平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^{2}$ の正規分布 $N(\mu,\sigma^{2})$ に従うとき， $z=\left(x-\mu\right)/\sigma$ は $N(0,1)$ に従うので， $x>x_{\alpha}$ となる確率は，

　　　　　 $P\left(x>x_{\alpha}\right)=P\left(z>\frac{x_{\alpha}-\mu}{\sigma}\right)$

から計算する．

　例えば， $x$ が平均10，分散4の正規分布に従うとき， $x>12$ となる確率は，

$\text{　　　　　}P\left(x>12\right)=P\left(z>\frac{12-10}{2}\right)=P\left(z>1\right)$

$\text{　　　　　　　　　　}=0.15866$

　この表の下段にある表は， $\alpha$ の値に対して，右側の確率 $P(z>z_{\alpha})=\alpha$ となる $z$ の値を与えるものである．両側確率を与えて $z_{\alpha}$ の値を求めるには，その確率の1/2に対する $z_{\alpha}$ の値を求めればよい．

・ $\bm{t}$ 分布

　 $t$ 分布の右側の確率 $\alpha$ から， $P(t>t_{\alpha})=\alpha$ となる $t_{\alpha}$ の値を求めるものである．両側確率から $t_{\alpha}$ の値を求めるには，その確率の1/2の値についてこの表を用いる．

　表側には自由度 $\nu$ が与えてある．自由度 $\nu=\infty$ のときは，標準正規分布となる．

　自由度が大きいところでこの表に $\nu$ の値がないときは，表にあるその前後の自由度の逆数を使って補間する．

　例えば，自由度 $\nu=64$ のときの右側確率が0.025となる $t$ の値は， $\nu=64$ の前後の $\nu=60$ の場合と $\nu=70$ の場合を使って，次のように補間して求める．まず，

$\displaystyle \text{　　　　　}\frac{1}{64}=\frac{1}{60}p+\frac{1}{70}\left(1-p\right)$

から $p=0.5625$ を求め，

$\text{　　　　　}t_{.025}(64)=t_{.025}(60)\times 0.5625+t_{.025}(64)\times 0.4375$

$\text{　　　　　　　　　　}=2.0003\times 0.5625+1.9944\times 0.4375$

$\text{　　　　　　　　　　}=1.9977$

・ $\bm{\chi}^{\bm{2}}$ （カイ２乗）分布

　この表は，カイ２乗分布の右側の確率 $\alpha$ から， $P\left(\chi^{2}>\chi_{\alpha}^{2}\right)=\alpha$ となる $\chi_{\alpha}^{2}$ の値を与えるものである．表側にはカイ２乗分布の自由度 $\nu$ が与えてある．左側の確率点，すなわち $P\left(\chi^{2}<\chi_{\alpha}^{2}\right)=\alpha$ となる $\chi_{\alpha}^{2}$ の値は，右側の確率が $P\left(\chi^{2}>\chi_{\alpha}^{2}\right)=1-\alpha$ となる $\chi_{\alpha}^{2}$ の値として求める．

表にない自由度に対しては， $\nu$ の逆数補間によって求める．例えば， $\nu=65$ ， $\alpha=0.05$ に対しては，

　　　　　 $\displaystyle \frac{1}{65}=\frac{1}{60}p+\frac{1}{70}\left(1-p\right)$

　　　　　 $p=\left(\frac{1}{65}-\frac{1}{70}\right)/\left(\frac{1}{60}-\frac{1}{70}\right)=0.4615$

　　　　　 $\displaystyle \frac{1}{\chi_{.05}^{2}(65)}=\frac{p}{\chi_{.05}^{2}(60)}+\frac{1-p}{\chi_{.05}^{2}(70)}$

　　　　　 $\text{[math]}$ $=\displaystyle \frac{0.4615}{79.082}+\frac{0.5385}{90.531}=0.011784$

　　　　　 $\chi_{.05}^{2}(65)=84.861$

　自由度が大きい（ $\nu>100$ ）ところでは， $\sqrt{2\chi^{2}}-\sqrt{2\nu-1}$ が近似的に標準正規分布に従うことを利用して正規分布の表を用いる．

・ $\bm{F}$ 分布

　２つの表は，それぞれ $F$ 分布の上側5%点，1%点を与えるものである．表頭には分子の自由度 $\nu_{1}$ ，表側には分母の自由度 $\nu_{2}$ が与えてある．例えば， $\nu_{1}=10$ ， $\nu_{2}=20$ の5%点 $F_{.05}(10,20)$ は，5%点の表で表頭の $\nu_{1}$ の値が10の列を下に見て行き，表側の $\nu_{2}$ の値が20の行を右に見て行って交わったところの値2.348を読む．